Pourquoi l’humanité a-t-elle développé des systèmes de numération? Quels en sont les avantages et quels en sont les inconvénients? L’humanité a depuis longtemps trouvé divers moyens de représenter, par l’écriture (en utilisant des signes, par exemple), des quantités déterminées d’objets. Mais le développement de la société (la nécessité de compter les biens personnels, l’organisation fiscale des cités, le commerce, etc.) nécessite rapidement la réalisation de calculs, c’est-à-dire l’invention d’une arithmétique élémentaire (calculs impliquant des additions, soustractions, multiplications, etc.). L’écriture des nombres a alors évolué, d’une part pour permettre la représentation simple de quantités et, d’autre part, pour faciliter les calculs. Cette évolution aboutit à la constitution d’ensembles de signes et de règles permettant de représenter les nombres, ce qu’on appelle des systèmes de numération. Dans ce livre, nous essaierons de montrer en quoi et pourquoi notre système de numération décimale est l’un des plus avantageux pour le développement de l’arithmétique. Nous proposerons aussi une étude détaillée des opérations élémentaires définies dans l’ensemble des nombres naturels, de leurs propriétés et de leur usage. Gustavo Barallobres est professeur en didactique des mathématiques au département d’éducation et formation spécialisées à l’Université de Québec à Montréal et membre du groupe d’études sur l’enseignement/apprentissage des mathématiques en adaptation scolaire (GEMAS) à l’Université du Québec à Montréal. Il est aussi chercheur au laboratoire « Culture et diffusion des savoirs » Université Victor Segalen, Bordeaux 2 en France.

Dans la Mésopotamie et dans l’Égypte, premières sociétés dans lesquelles on retrouve des traces d’écritures, les fractions apparaissent dans le cadre de pratiques sociales de mesure, de partage et de distribution de biens matériels. Chevallard (1989) souligne bien que : « le problème n’est pas le seul partage empirique de biens, tel que pourrait le réaliser un individu, ou une collectivité restreinte d’individus – dont l’action est première et se suffit à elle-même – mais une instance gestionnaire supérieure qui doit décider de ses modalités de partage, des procédures à suivre, avant même que l’action soit réalisée ». Ainsi, disposer de savoirs arithmétiques concernant les fractions permet de calculer d’avance le résultat du partage (sans nécessiter de la réalisation effective du partage).Chez les Grecs, la notion de fraction apparaît dans le contexte des rapports et des proportions et n’est pas associée à un type de nombres qui est comparable aux nombres rationnels d’aujourd’hui. Le développement des fractions se poursuit dans le cadre de la civilisation islamo-arabe et s’étend vers l’Europe médiévale à travers le commerce. Vers la fin du Moyen Âge, la théorie des rapports et proportions évolue vers une arithmétisation de ces concepts, ce qui favorise la réalisation de calculs et l’élaboration d’une arithmétique des fractions. La théorie des proportions continue à avoir une place fondamentale dans le développement de l’algèbre de Viète (au XVIIe siècle) et les fractions y apparaissent liées à la division. Vers la fin du XVIe siècle, Stevin réussit à répandre l’usage des fractions décimales et des nombres décimaux, ce qui permet à Descartes, quelques années plus tard, d’asseoir son algèbre sur l’idée de mesure (Kibindigiri, 1995). Dans ce texte, nous présenterons différents usages (internes ou externes aux mathématiques) des nombres rationnels, autant dans sa représentation fractionnaire que décimale, et leurs rapports avec d’autres concepts mathématiques pour lesquels ce type de nombre joue un rôle fondamental.